閉包 | 開核
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開核作用素 (內部作用素 (interior operator))$ {\rm int}(A)。$ A^\circ 全體集合を$ Xとして、部分集合から部分集合への函數$ \rm int:2^X\to 2^Xで以下を滿たすものを開核作用素と呼ぶ $ {\rm int}(A)\sube A縮小性質
$ {\rm int}({\rm int}(A))={\rm int}(A)冪等性
$ {\rm int}(A\cap B)={\rm int}(A)\cap{\rm int}(B)交はりを保存する
$ {\rm int}(X)=X空積を保存する
寫像$ fが$ f^{-1}({\rm int}(A))\sub{\rm int}'(f^{-1}(A))を滿たす場合、開核を保つと言ひ、開核作用素の閒の射$ f:{\rm int}\to{\rm int}'と見做せる 開集合系$ \cal Oからも定義できる$ {\rm int}(A)\coloneqq\bigcup_{U\sube A,U\in\mathcal O}U $ A\sube Bならば$ {\rm int}(A)\sube{\rm int}(B)
$ Xの部分集合を對象とし包含關係$ \subseteqを射とする圈$ 2^Xの冪等餘 monad と見做せる 自己函手$ {\rm int}:2^X\to 2^X $ \Delta:{\rm int}\Rarr{\rm int};{\rm int},$ \Delta_A:{\rm int}(A)={\rm int}({\rm int}(A))
餘單位$ \epsilon:{\rm int}\Rarr{\rm Id},$ \epsilon_A:{\rm int}(A)\subseteq A 整合條件
$ \begin{CD}{\rm int} @>\Delta>> {\rm int};{\rm int} \\ @V\Delta VV @VV\Delta{\rm int}V \\ {\rm int};{\rm int} @>>{\rm int}\Delta> {\rm int};{\rm int};{\rm int}\end{CD}
$ \begin{CD}{\rm int} @>\Delta>> {\rm int};{\rm int} \\ @V\Delta VV @VV\epsilon{\rm int}V \\ {\rm int};{\rm int} @>>{\rm int}\epsilon> {\rm int}\end{CD}
必然$ \square Aの樣に振る舞ふ
閉包作用素 (closure operator)$ {\rm cl}(A)。$ \bar A 全體集合を$ Xとして、部分集合から部分集合への函數$ \rm cl:2^X\to 2^Xで以下を滿たすものを閉包作用素と呼ぶ $ A\sube{\rm cl}(A)擴張性質
$ {\rm cl}({\rm cl}(A))={\rm cl}(A)冪等性
$ {\rm cl}(A\cup B)={\rm cl}(A)\cup{\rm cl}(B)結びを保存する
$ {\rm cl}(\varnothing)=\varnothing空和を保存する
寫像$ fが$ f({\rm cl}(A))\sub{\rm cl}'(f(A))を滿たす場合、閉包を保つと言ひ、閉包作用素の閒の射$ f:{\rm cl}\to{\rm cl}'と見做せる 閉集合系$ \cal Cからも定義できる$ {\rm cl}(A)\coloneqq\bigcap_{A\sube U,U\in\mathcal C}U $ A\sube Bならば$ {\rm cl}(A)\sube{\rm cl}(B)
$ Xの部分集合を對象とし包含關係$ \subseteqを射とする圈$ 2^Xの 冪等 monad と見做せる 自己函手$ {\rm cl}:2^X\to 2^X $ \mu:{\rm cl};{\rm cl}\Rarr{\rm cl},$ \mu_X:{\rm cl}({\rm cl}(A))={\rm cl}(A)
單位 (圈)$ \eta:{\rm Id}\Rarr{\rm cl},$ \eta_A:A\subseteq{\rm cl}(A) 整合條件
結合性$ \begin{CD}{\rm cl};{\rm cl};{\rm cl} @>{\rm cl}\mu>> {\rm cl};{\rm cl} \\ @V\mu{\rm cl}VV @VV\mu V \\ {\rm cl};{\rm cl} @>>\mu> {\rm cl}\end{CD}
單位性$ \begin{CD}{\rm cl} @>{\rm cl}\eta>> {\rm cl};{\rm cl} \\ @V\eta{\rm cl}VV @VV\mu V \\ {\rm cl};{\rm cl} @>>\mu> {\rm cl}\end{CD}
可能$ \lozenge Aの樣に振る舞ふ
內部 | 外部
內部 (interior。開核 (open kernel))$ {\rm int}(S)。$ S^i
$ S^i=(S^\complement)^e
相對的內部 (relative interior)$ {\rm relint}(A)
準相對的內部 (quasi-relative interior)$ {\rm qri}(A)
代數的內部 (algebraic interior)$ {\rm core}(A)
外部 (exterior)$ {\rm ext}(S)。$ S^e
全體集合$ Xと部分集合$ S,T\subseteq Xに對して外部作用素$ ^e:2^X\to 2^Xを以下の公理で定められる
$ \varnothing^e=X
$ S^e\subseteq S^\complement
$ S^e=((S^e)^\complement)^e
$ (S\cup T)^e=S^e\cap T^e
$ S^e=(S^\complement)^i
境界 (boundary。frontier)$ \partial S
$ \partial S:={\rm cl}(S)\setminus{\rm int}(S)
$ \partial S:={\rm cl}(S)\cap{\rm cl}(S^\complement)
$ \partial S:=({\rm int}(S)\cup{\rm int}(S^\complement))^\complement
$ \partial S=\partial(S^\complement)
$ {\rm cl}(S)=S\cup\partial S
$ \partial\partial S\subseteq\partial S
$ \partial\partial\partial S=\partial\partial S
閉包代數 (closure algebra)
$ \ne代數的閉包 (algebraic closure)